Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc - SGK Toán 11 Cùng khám phá
Tổng quan nội dung
Tổng Quan Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập môn Toán học lớp 11
Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Rất nhiều người dùng đã chia sẻ rằng việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập tại hocbaitap.com đã thay đổi hoàn toàn thói quen của họ. Đội ngũ của chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật dữ liệu liên tục để mang đến trải nghiệm tuyệt vời. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại hocbaitap.com giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Sự hài lòng của bạn chính là động lực để hệ thống không ngừng nâng cấp và mở rộng chuyên mục tài liệu học tập và giải bài tập. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.
A. Lý thuyết 1. Góc nhị diện
A. Lý thuyết
1. Góc nhị diện
Hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) có chung bờ a gọi là góc nhị diện (hay nhị diện), kí hiệu là \([\alpha ,a,\beta ]\) hay \([\alpha ,\beta ]\). Mỗi nửa mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) gọi là một mặt của nhị diện. Đường thẳng a gọi là cạnh của nhị diện. |
Lưu ý: Nếu trên \((\alpha )\) ta lấy điểm M, trên \((\beta )\) ta lấy điểm N (M và N đều không nằm trên a thì nhị diện đó còn được kí hiệu là [M,a,N].
Góc có định nghĩa nằm trên cạnh của nhị diện còn hai cạnh nằm trong hai mặt và vuông góc với cạnh của nhị diện được gọi là góc phẳng nhị diện. Số đo của góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện. |
- Nếu φ là số đo của góc nhị diện thì \({0^o} < \varphi < {180^o}\).
- Nếu số đo của góc nhị diện bằng \({90^o}\) thì hai mặt của nhị diện vuông nhau, ta có nhị diện vuông.
- Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn nhị diện, nếu một nhị diện vuông thì ba nhị diện còn lại cũng vuông.
2. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Hai mặt phẳng vuông góc
| Hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) được gọi là vuông góc với nhau nếu một trong bốn nhị diện được tạo bởi \((\alpha )\) và \((\beta )\) là nhị diện vuông, kí hiệu \((\alpha ) \bot (\beta )\). |
b) Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. |
3. Hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đều
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều. |
Một số tinh chất cơ bản:
- Trong hình lăng trụ đứng, các mặt bên là các hình chữ nhật và chung vuông góc với mặt đáy.
- Trong hình lăng trụ đều, các mặt bên là các hình chữ nhật có kích thước bằng nhau.
- Trong hình hộp đứng, bốn mặt bên là các hình chữ nhật.
- Trong hình hộp chữ nhật, hai mặt bên kế nhau vuông góc nhau; sáu mặt là sáu hình chữ nhật. Ngược lại, nếu sáu mặt của hình hộp là các hình chữ nhật thì hình hộp đó là hình hộp chữ nhật.
- Trong hình lập phương, sáu mặt là các hình vuông.
4. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
a) Hình chóp đều
| Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau. |
Lưu ý:
- Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân bằng nhau.
- Đường cao của hình chóp đều đi qua đỉnh và tâm của đáy.
- Độ dài đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy là chiều cao của hình chóp đều.
- Tên của hình chóp đều được gọi theo tên của đa giác đáy. Ví dụ: hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều, hình chóp ngũ giác đều,...
b) Hình chóp cụt đều
Phần hình chóp đều nằm giữa đáy và một mặt phẳng song song với đáy, cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều. Đáy của hình chóp đều gọi là đáy lớn của hình chóp cụt đều, còn đa giác tạo bởi mặt phẳng cắt các cạnh của hình chóp gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt đều đó. Các mặt còn lại gọi là mặt bên của hình chóp cụt đều. Cạnh chung của hai mặt kề nhau gọi là cạnh bên của hình chóp cụt đều. |
Lưu ý:
- Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đều.
- Đường thẳng nối tâm của hai đáy là đường cao của hình chóp cụt đều.
- Độ dài đoạn thẳng nối tâm của hai đáy là chiều cao của hình chóp cụt đều.
- Các mặt bên của hình chóp đều là các hình thang cân.
- Tên của hình chóp cụt đều được gợi theo hình dạng đáy của nó. Ví dụ: hình chóp cụt tứ giác đều, hình chóp cụt lục giác đều,...
B. Bài tập
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), \(SA = \frac{a}{2}\). Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với BC. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [S,BC,A].
Giải:
Gọi H là trung điểm BC. Ta có \(BC \bot AH\) và \(SA \bot (SAH)\).
Vậy mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (SAH).
Ta có giao tuyến của mặt phẳng (SAH) với mặt phẳng (SBC) và (ABC) lần lượt là SH và AH.
Vậy góc phẳng nhị diện [S,BC,A] là \(\widehat {SHA}\).
Ta có \(SA \bot AH\) (do \(SA \bot (ABC)\)) nên tam giác SAH vuông tại A.
Suy ra \(\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {SHA} = {30^o}\). Vậy số đo của góc phẳng nhị diện [S,BC,A] bằng \({30^o}\).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD, biết ABC và DBC là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh \((DBC) \bot (ADI)\).
Giải:
Ta có: \(BC \bot AI\) (do tam giác ABC cân tại A) và \(BC \bot DI\) (do tam giác DBC cân tại D).
Mà hai đường thẳng AI và DI cắt nhau cùng thuộc (ADI) nên \(BC \bot (ADI)\).
Mặt phẳng (BDC) chứa BC, nên \((DBC) \bot (ADI)\).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Chứng minh SA vuông góc với BC.
Giải:
Theo giả thiết, ta có \((SAB) \bot (ABC)\) và \((SAC) \bot (ABC)\).
Mà \((SAB) \cap (SAC) = SA\).
Áp dụng định lí, suy ra \(SA \bot (ABC)\). Do đó, \(SA \bot BC\).
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh\(SO \bot (ABC)\).
Giải:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Do O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên O là giao điểm của AN và CM.
Ta có:
Tam giác SBC cân tại S, suy ra \(BC \bot SN\). Mặt khác, tam giác ABC đều, suy ra \(BC \bot AN\).
Vậy \(BC \bot (SAN)\). Mà (SAN) chứa SO nên \(BC \bot SO\) (1).
Tam giác SBA cân tại S, suy ra \(AB \bot SM\). Mặt khác, tam giác ABC đều, suy ra \(AB \bot CM\).
Từ (1) và (2) suy ra \(SA \bot (ABC)\).
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy và cạnh bên đều bằng 2a, mặt phẳng (P) song song với mặt đáy (ABC) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại các trung điểm A’, B’, C’ của chúng. Tính chiều cao của hình chóp cụt đều ABC.A’B’C’.
Giải:
Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác đều ABC và A’B’C’.
Ta có \(\frac{{SG'}}{{SG}} = \frac{{SA'}}{{SA}} = \frac{1}{2}\). Suy ra G’ là trung điểm của SG.
Chiều cao của hình chóp cụt đều ABC.A’B’C’ là GG’.
Tam giác ABC đều cạnh ạ, nên \(AG = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}a\).
Ta có \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}a\).
Vậy chiều cao của hình chóp cụt ABC.A’B’C’ là \(G'G = \frac{{\sqrt 6 }}{3}a\).
Tại Sao Cần Quan Tâm Đến Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập?
Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Chính vì vậy, hocbaitap.com luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.
Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Các tài liệu học tập và giải bài tập được chia thành nhiều danh mục nhỏ, đi kèm với bộ lọc chi tiết, cho phép bạn thu hẹp phạm vi tìm kiếm một cách nhanh chóng. Đội ngũ của chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật dữ liệu liên tục để mang đến trải nghiệm tuyệt vời. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Bằng cách tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập thường xuyên trên hocbaitap.com, bạn sẽ nắm bắt được những xu hướng mới nhất. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Hãy chủ động xây dựng kế hoạch đạt kết quả cao trong học tập hợp lý kết hợp với những tài liệu học tập và giải bài tập tuyệt vời này để đạt được thành tựu như mong muốn.
Mẹo Hay Cùng Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Sự phong phú của tài liệu học tập và giải bài tập trên hệ thống mang lại vô vàn lựa chọn cho người dùng. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, hocbaitap.com tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Sự kết hợp hài hòa giữa giao diện trực quan và nội dung phong phú là điểm cộng lớn cho quá trình đạt kết quả cao trong học tập. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Nền tảng hocbaitap.com được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Đội ngũ của chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật dữ liệu liên tục để mang đến trải nghiệm tuyệt vời. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Khác với các phương pháp truyền thống, hocbaitap.com ứng dụng công nghệ để tối ưu hóa việc phân phối tài liệu học tập và giải bài tập đến tay bạn. Việc đạt kết quả cao trong học tập giờ đây trở nên vô cùng đơn giản. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.
Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng
- Điểm mạnh số 1: Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên th... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 2: Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng v... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 3: Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng v... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 4: Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chì... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 5: Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Thông qua quá trình ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Những Lưu Ý Khi Trải Nghiệm Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Chính vì vậy, hocbaitap.com luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Sự hài lòng của bạn chính là động lực để hệ thống không ngừng nâng cấp và mở rộng chuyên mục tài liệu học tập và giải bài tập. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Bằng cách tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập thường xuyên trên hocbaitap.com, bạn sẽ nắm bắt được những xu hướng mới nhất. Việc đạt kết quả cao trong học tập giờ đây trở nên vô cùng đơn giản. Hãy chủ động xây dựng kế hoạch đạt kết quả cao trong học tập hợp lý kết hợp với những tài liệu học tập và giải bài tập tuyệt vời này để đạt được thành tựu như mong muốn.
Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Các tài liệu học tập và giải bài tập được chia thành nhiều danh mục nhỏ, đi kèm với bộ lọc chi tiết, cho phép bạn thu hẹp phạm vi tìm kiếm một cách nhanh chóng. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.
Câu Hỏi Thường Gặp Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại hocbaitap.com có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Chính vì vậy, hocbaitap.com luôn ư.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại hocbaitap.com có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Các tài liệu.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại hocbaitap.com có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Dù bạn là người mới hay đã có kinh.
Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Khác với các phương pháp truyền thống, hocbaitap.com ứng dụng công nghệ để tối ưu hóa việc phân phối tài liệu học tập và giải bài tập đến tay bạn. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Có thể nói, việc tích cực tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập chính là khoản đầu tư sinh lời tốt nhất cho tương lai của bạn.
Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Chính vì vậy, hocbaitap.com luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Sự kết hợp hài hòa giữa giao diện trực quan và nội dung phong phú là điểm cộng lớn cho quá trình đạt kết quả cao trong học tập. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.