Bài tập 33 trang 124 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC \(\left( {E \in BC} \right)\) . Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh rằng:

a) BD là trung trực của AE.

b) AD < DC

c) Ba điểm E, D, F thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆ABD (\(\widehat {BAD} = 90^\circ\)) và ∆BDE (\)\widehat {BED} = 90^\circ\))

Ta có: BD (cạnh chung)

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBE}\) (BD là tia phân giác của\(\widehat {ABC}\))

Do đó: ∆ABD = ∆EBD (cạnh huyền – góc nhọn)

=> BA = BE và DA = DE

=> BD là đường trung trực của AE.

b) Ta có: DE < DC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

AD = DE (∆ABD = ∆EBD)

=> AD < DC.

c) Ta có BE = BA, AF = CE (gt) => BE + CE = BA + AF => BC = BF

Xét ∆BEF và ∆BAC có: BE = BA

\(\widehat {EBF}\) (chung)

BF = BC

Do đó ∆BEF = ∆BAC (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {BEF} = \widehat {BAC} = 90^\circ\)

Ta có \({\rm{EF}} \bot BC\) và\(DE \bot BC\) (gt) => EF, DE trùng nhau. Vậy E, D, F thẳng hàng.