Câu 31 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh rằng có đúng hai mặt phẳng song song với nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng đó

Lời giải chi tiết

 

Gọi hai đường thẳng chéo nhau là a và b.

Trên đường thẳng a, ta lấy điểm M, qua M kẻ đường thẳng b’ // b

Trên đường thẳng b, ta lấy điểm N, qua N ta kẻ đường thẳng a’ // a

Gọi (α) = mp(a, b’), (β) = mp(b, a’) thì (α) // (β)

* Ta chứng tỏ cặp mặt phẳng (α), (β) là duy nhất.

Thật vậy, giả sử tồn tại cặp (α’) , (β’) sao cho (α’) chứa a, (β’) chứa b và \((α’) // (β’)\). Ta chứng minh \((α’) ≡ (α)\) và \((β’) ≡ (β)\) .

- Do (α’) và (α) cùng chứa a, nên nếu (α’) và (α) không trùng nhau thì \((α’) ∩ (α) = a\) (1)

- Do \( (α’) // (β’) ⇒ b // (α’)\) (2)

- Do \((α) // (β) ⇒ b // (α)\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra a // b, mâu thuẫn giả thiết

Vậy \((α) ≡ (α’)\), tương tự \((β) ≡ (β’)\)

Do đó cặp mặt phẳng \((α), (β)\) duy nhất.