Câu 8 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường tròn $(C_1),(C_2)$ lần lượt có phương trình:

$\eqalign{ & \left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0 \cr  & \left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0 \cr}$

Viết phương trình ảnh của mỗi đường tròn trên qua phép đối xứng có trục Oy

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\eqalign{ & {x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0 \cr  & \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + {5 \over 2}} \right)^2} = {{37} \over 4} \cr}$

$(C_1)$ có tâm ${I_1}\left( {2; - {5 \over 2}} \right)$ và bán kính ${R_1} = {{\sqrt {37} } \over 2}$

Gọi $I'_1$ là ảnh của $I_1$ qua phép đối xứng có trục Oy thì $I{'_1}\left( { - 2; - {5 \over 2}} \right)$

Vậy phương trình ảnh $(C'_1)$ của $(C_1)$ qua phép đối xứng trục Oy là:

$\eqalign{ & {\left( {x + 2} \right)^2} + \left( {y + {5 \over 2}} \right) = {{37} \over 4} \cr  & \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4x + 5y + 1 = 0 \cr}$

Lại có:

$\begin{array}{l} \left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 30 \end{array}$

$(C_2)$ có tâm ${I_2}\left( {0;-5} \right)$ và bán kính ${R_2} = \sqrt {30}$

Gọi $I'_2$ là ảnh của $I_2$ qua phép đối xứng có trục Oy thì $I{'_2}\left( { 0; - 5} \right)$ trùng với $I_2$.

Vậy phương trình ảnh $(C'_2)$ của $(C_2)$ qua phép đối xứng trục Oy là chính $\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0$.