Giải bài 1.65 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1}}{{x - 1}}\).

a) Tìm \(m\) để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua \(\left( {1;2} \right)\).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị \(\left( H \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) với \(m\) tìm được ở câu a.         

c) Từ đồ thị \(\left( H \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ở câu b, vẽ đồ thị \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\).

Lời giải chi tiết

a) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = m + 1\). Để đường thẳng này đi qua  \(\left( {1;2} \right)\) thì \(2 = m + 1 \Leftrightarrow m = 1\).

b) Xét đồ thị hàm số \(\left( H \right):{\rm{ }}y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\forall x \ne 1\). Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2\) suy ra \(y = 2\) là tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} =  - \infty \) suy ra \(x = 1\) là tiệm cận đứng.

Ta lập bảng biến thiên

Đồ thị:

c) Ta có

\(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right){\rm{ khi f}}\left( x \right) \ge 0\\ - f\left( x \right){\rm{ khi f}}\left( x \right) < 0\end{array} \right.\)

Để vẽ đồ thị hàm giá trị tuyệt đối ta làm như sau: Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới trục hoành qua trục hoành.