Giải bài 2 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Đề bài
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 10x + 20y \to \min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}20{\rm{x}} + 5y \ge 40\\16{\rm{x}} + 60y \ge 120\\x - y \le 3\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết
Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là miền không gạch (không là miền đa giác).
Ta có \(A\left( {0;8} \right)\).
Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}20{\rm{x}} + 5y = 40\\15{\rm{x}} + 60y = 120\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{5}\\y = \frac{8}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {\frac{8}{5};\frac{8}{5}} \right)\).
Toạ độ \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\15{\rm{x}} + 60y = 120\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {4;1} \right)\).
Do \({\Omega }\) nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số của biểu thức \(F = 10x + 20y\) đều dương nên \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh của \({\Omega }\).
Ta có \(F\left( {0;8} \right) = 160;F\left( {\frac{8}{5};\frac{8}{5}} \right) = 48;F\left( {4;1} \right) = 60\).
Do đó \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh \(B\left( {\frac{8}{5};\frac{8}{5}} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = B\left( {\frac{8}{5};\frac{8}{5}} \right) = 48\).