Giải bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một bức tranh cao 4 m được treo trên tường có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan sát là 3 m (như hình vẽ). Người quan sát phải đứng cách tường bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi (tức là, có góc nhìn \(\theta \) lớn nhất)?

Lời giải chi tiết

Đặt AC = x (m) ta có \(CD = \sqrt {{x^2} + 9} \), \(BC = \sqrt {{x^2} + 49} \)

Ta có: \(\sin B = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 49} }}\)

Xét tam giác BDC có:

\(\frac{{CD}}{{\sin B}} = \frac{{BD}}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{{\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 49} }}}} = \frac{4}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \sin \theta  = \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 49} .\sqrt {{x^2} + 9} }}\)

Để có được tầm nhìn thuận lợi thì góc nhìn \(\theta \) lớn nhất.

Xét hàm số \(y = \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 49} .\sqrt {{x^2} + 9} }} = \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^4} + 58{x^2} + 441} }},x > 0\)

Ta có: \(y' = \frac{{ - 4{x^4} + 1764}}{{\left( {{x^4} + 58{x^2} + 441} \right)\sqrt {{x^4} + 58{x^2} + 441} }} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt {21}  \approx 4,58\)

Vậy người đó phải đứng cách tường khoảng 4,58m thì tầm nhìn là thuận lợi nhất.