Giải bài 24 trang 41 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho biểu thức: $D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

a)     Viết điều kiện xác định của biểu thức $D$

b)    Tính giá trị của biểu thức $D$ tại $x = 5947$

c)     Tìm giá trị của $x$ để $D$ nhận giá trị nguyên.

Lời giải chi tiết

a)     Điều kiện xác định của biểu thức $D$ là: $x \ne 0;x \ne  - 1;x \ne \frac{1}{2}$

b)    Rút gọn biểu thức $D$ ta có:

$\begin{array}{l}D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\\ = \left( {\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2.3x - 3.3x.\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}} \right).\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\\ = \left( {\frac{{{x^2} + 3x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {2 - 4x} \right)}}} \right) - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\\ = \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\\ = \frac{{ - 2\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{6x\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\\ = \frac{{2x + 1}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}\end{array}$

Giá trị của biểu thức $D$ tại $x = 5947$ là: $\frac{{5947 - 1}}{3} = 1982$

c)     Để $D$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{{x - 1}}{3}$ phải nhận giá trị nguyên. Suy ra $x - 1 \vdots 3$, tức là $x - 1 = 3k$ hay $x = 3k + 1$ với $k \in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện xác định).