Giải bài 4 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của hàm số $y = - {x^3} - 3{x^2} + mx + 1$ có tâm đối xứng nằm trên trục $Ox$? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình $y''=0$.

‒ Để kết luận về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, ta dựa vào dấu của tung độ hai cực trị của phương trình $y' = 0$.

Lời giải chi tiết

$y'=-3{{x}^{2}}-6x+m;y''=-6x-6;y''=0\Leftrightarrow x=-1$

Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số có tung độ $y = - {\left( { - 1} \right)^3} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + m.\left( { - 1} \right) + 1 = - m - 1$.

$I$ nằm trên trục $Ox \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow - m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$.

Khi $m = - 1$, hàm số có dạng $y = - {x^3} - 3{x^2} - x + 1$.

Khi đó $y' = - 3{x^2} - 6x - 1$.

Phương trình $y' = 0$ có biệt thức $\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) = 6 > 0$. Do đó phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua $I\left( { - 1;0} \right)$.

Do đó tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt.

Bài trước Bài sau