Giải bài 4.5 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ không vuông, với trực tâm $H$, nội tiếp đường tròn $(O).$ Kẻ đường kính $AA'$ của đường tròn $(O).$

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A'C} .$

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Tìm mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của hai vectơ $\overrightarrow {AH}$ và $\overrightarrow {OM} .$

Lời giải chi tiết

a) Xét $(O)$ có: $\widehat {ABA'} = \widehat {ACA'} = {90^ \circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow A'C \bot AC$ và $A'B \bot AB$ (1)

Ta có: $H$ là trực tâm của tam giác $ABC.$

$\Rightarrow BH \bot AC$ và $CH \bot AB$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $BH$//$A'C$ và $A'B$//$CH.$

Xét tứ giác $ABHC$ có: $BH$//$A'C$ và $A'B$//$CH$

$\Rightarrow$ tứ giác $ABHC$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow \overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A'C}$

b) Ta có: tứ giác $ABHC$ là hình bình hành

nên $M$ là trung điểm của $A'H$

Xét $\Delta AA'H$ có: $M$ là trung điểm của $A'H$

$O$ là trung điểm của $AA'$

$\Rightarrow$ $MO$ là đường trung bình của $\Delta AA'H$

$\Rightarrow$ $MO$//$AH$ và $2MO = AH$

$\Rightarrow$ hai vectơ $\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {AH}$ cùng hướng và $2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {AH} .$