Giải bài 48 trang 79 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Từ C kẻ CE vuông góc với AB (E thuộc đường thẳng AB), CF vuông góc với AD (F thuộc đường thẳng AD). Chứng minh: AB.AE+AD.AF=AC2.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vào tam giác vuông:

Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết

1_13.png

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của D,B trên đường thẳng AC.

Ta có ΔAHDΔAFC=>ADAC=AHAF hay AD.AF=AC.AH (1)

Tương tự ΔAKBΔAEC=>ABAC=AKAE hay AB.AE=AC.AK (2).

ΔABKΔCDH (cạnh huyền – góc nhọn) nên AK=HC

Từ đó, cộng (1) và (2) theo vế ta được:

AD.AF+AB.AE=AC.(AH+AK)=AC(AH+HC)=AC2.