Giải bài 55 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC.

a) Chứng minh $\widehat {BAC} = \widehat {COD} = \widehat {ABC} = \widehat {ACO}$.

b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh $AM > CM$và $\widehat {COM} = 2\widehat {CAM}$.

c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AC, tìm vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MAC lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi K là giao điểm của AC và OD, kẻ MN vuông góc với AC tại N.

a) Vì C điểm chính giữa của cung AB nên $\text{sđ}\overset\frown{CB}=\text{sđ}\overset\frown{CA}=\frac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{AB}=\frac{1}{2}.180{}^\circ =90{}^\circ$ (do AB là cung chắn nửa đường tròn nên có số đo là 180⁰),

Suy ra $\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$(do $\widehat {BAC}$và $\widehat {ABC}$là các góc nội chắn các cung bằng nhau) (1) và $\widehat {COA} = 90^\circ$(góc ở tâm chắn cung AC).

Do D là điểm chính giữa của cung AC nên $\text{sđ}\overset\frown{AD}=\text{sđ}\overset\frown{DC}=\frac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{AC}=\frac{1}{2}.90{}^\circ =45{}^\circ$

Suy ra $\widehat {COD} = 45^\circ$ (do $\widehat {COD}$ là góc ở tâm chắc cung DC)(2)

Xét tam giác ABC có: $\widehat {ACO} = 180^\circ  - \widehat {CAO} - \widehat {COA} = 180^\circ  - 45^\circ  - 90^\circ  = 45^\circ$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat {BAC} = \widehat {COD} = \widehat {ABC} = \widehat {ACO}\left( { = 45^\circ } \right)$.

b) Do M thuộc cung nhỏ DC và $\text{sđ}\overset\frown{AD}=\text{sđ}\overset\frown{DC}=45{}^\circ$, mà $\text{sđ}\overset\frown{AM}=\text{sđ}\overset\frown{AD}\text{+sđ}\overset\frown{DM}=45{}^\circ \text{+sđ}\overset\frown{DM}$

Nên $\text{sđ}\overset\frown{AM}>45{}^\circ$ và $\text{sđ}\overset\frown{CM}<45{}^\circ$, do đó $\text{sđ}\overset\frown{AM}>\text{sđ}\overset\frown{CM}$ hay $\widehat {ACM} > \widehat {CAM}$

Xét tam giác ACM có $\widehat {ACM} > \widehat {CAM}$ nên $AM > CM$.

Xét (O) có: $\widehat {CAM}$ là góc nội tiếp chắn cung CM nên $\widehat{CAM}\text{=}\frac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{CM}$; $\widehat {COM}$ là góc ở tâm chắn cung CM nên $\widehat{COM}\text{=sđ}\overset\frown{CM}$. Do đó $\widehat {COM} = 2\widehat {CAM}$.

c) Diện tích tam giác MAC là $S = \frac{1}{2}AC.MN$.

Mà AC cố định nên S lớn nhất khi MN lớn nhất.

Do $\text{sđ}\overset\frown{AD}=\text{sđ}\overset\frown{DC}$ nên $\widehat {COD} = \widehat {AOD}$ ( do đây là 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau của (O)) nên OD (hay OK) là tia phân giác của góc COA.

Mặt khác $AO = CO$ (cũng bằng bán kính (O)) nên tam giác ACO cân tại O, do đó đường phân giác OK đồng thời là đường cao, hay $OK \bot AC$.

Ta lại có $MN + OK \le OM$và $OM = OD = DK + OK$ nên $MN \le DK$.

Do DK không đổi nên MN lớn nhất khi $MN = DK$ hay M là điểm chính giữa cung AC.

Vậy diện tích $\Delta MAC$lớn nhất bằng $\frac{1}{2}AC.DK$ khi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC.