Giải bài 7 trang 72 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tỉ lệ người cao tuổi trong một cộng đồng dân cư là 23%. Chọn ngẫu nhiên một cách độc lập 5 người trong cộng đồng dân cư. Gọi X là số người cao tuổi trong 5 người được chọn. Hãy tính kì vọng và phương sai của X.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố nhị thức $B\left( {n;p} \right)$ . Khi đó:

$P\left( {X = k} \right) = {C}_n^k.{p^k}.{\left( {1 - p} \right)^{n - k}}$ , với $k = 0,1,...,n$ ; $E\left( X \right) = np$ và $V\left( X \right) = np\left( {1 - p} \right)$ .

Lời giải chi tiết

Gọi $T$ là phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 1 người từ cộng đồng” và $A$ là biến cố: “Người đó có là người cao tuổi”. Gọi X là số lần xảy ra biến cố $A$ khi lặp lại 5 lần phép thử $T$ .

Do phép thử $T$ được thực hiện 5 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố $A$ mỗi lần thử là 0,23 nên X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $B\left( {5;0,23} \right)$ .

Kì vọng của X là: $E\left( X \right) = 5.0,23 = 1,15$ .

Phương sai của X là: $V\left( X \right) = 5.0,23\left( {1 - 0,23} \right) = 0,8855$ .

Bài trước Bài sau