Giải bài 7 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Tùy theo giá trị của $a > 0$ , tìm giới hạn $\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho $\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b$ và c là hằng số: $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b$ , $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)$ .

+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản để tính: $\lim {q^n} = 0$ (q là số thực, $\left| q \right| < 1$ ), $\lim c = c$ (c là hằng số).

Lời giải chi tiết

Nếu $0 < a < 1$ thì $\lim {a^n} = 0$ nên $\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \frac{{\lim {a^n}}}{{\lim {a^n} + 1}} = \frac{0}{{0 + 1}} = 0$ .

Nếu $a = 1$ thì $\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{{{1^n}}}{{{1^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}$ .

Nếu $a > 1$ thì $\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}}$ .

Vì $a > 1$ nên $0 < \frac{1}{a} < 1$ , suy ra $\lim {\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = 0$ .

Do đó, $\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}} = \frac{1}{{1 + \lim {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}} = \frac{1}{{1 + 0}} = 1$

Bài trước Bài sau