Giải bài tập 4 trang 78 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3 + 2t\\z =  - 1 + 3t\end{array} \right.\)(t là tham số).

a) Chỉ ra tọa độ hai điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \).

b) Điểm nào trong các điểm \(C\left( {6; - 7; - 16} \right),D\left( { - 3;11; - 11} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \)?

Lời giải chi tiết

a) Với \(t = 0\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 0 = 1\\y = 3 + 2.0 = 3\\z =  - 1 + 3.0 =  - 1\end{array} \right.\) nên điểm \(A\left( {1;3; - 1} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).

Với \(t = 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 1 = 0\\y = 3 + 2.1 = 5\\z =  - 1 + 3.1 = 2\end{array} \right.\) nên điểm \(B\left( {0;5;2} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).

b) Thay \(x = 6;y =  - 7;z =  - 16\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}6 = 1 - t\\ - 7 = 3 + 2t\\ - 16 =  - 1 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 5\\t =  - 5\\t =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - 5\)

Do đó, điểm \(C\left( {6; - 7; - 16} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).

Thay \(x =  - 3;y = 11;z =  - 11\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 3 = 1 - t\\11 = 3 + 2t\\ - 11 =  - 1 + 3t\end{array} \right.\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 4\\t = 4\\t = \frac{{ - 10}}{3}\end{array} \right.\)  (vô lí)

Do đó, điểm \(D\left( { - 3;11; - 11} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \).