Lý thuyết Phương trình và bất phương trình mũ - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} = b\) \((a > 0,a \ne 1)\).

Cho phương trình \({a^x} = b\) \((a > 0,a \ne 1)\): - Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\). - Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lưu ý: Với a > 0 và \(a \ne 1\) và \(b = {a^\alpha }\) thì phương trình \({a^x} = b\) trở thành \({a^x} = {a^\alpha }\). Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \alpha \). Một cách tổng quát, với a > 0 và \(a \ne 1\) , ta có:

\({a^{A(x)}} = {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) = B(x)\).

2. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} > b\) hoặc \({a^x} \ge b\), \({a^x} < b\), \({a^x} \le b\) \((a > 0,a \ne 1)\).

Cho bất phương trình \({a^x} > b\) \((a > 0,a \ne 1)\): - Nếu \(b \le 0\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). - Nếu b > 0 và: + a > 1: Ta có \({a^x} > b \Leftrightarrow x > {\log _a}b\). + 0 < a < 1: Ta có \({a^x} > b \Leftrightarrow x < {\log _a}b\).

Lưu ý:

Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: \({a^x} \ge b\), \({a^x} < b\), \({a^x} \le b\).

Với a > 0, \(a \ne 1\) và \(b = {a^\alpha }\)  thì bất phương trình \({a^x} > b\) trở thành \({a^x} > {a^\alpha }\). Khi đó:

- Nếu a > 1 thì \({a^x} > {a^\alpha } \Leftrightarrow x > \alpha \).

- Nếu 0 < a < 1 thì \({a^x} > {a^\alpha } \Leftrightarrow x < \alpha \).

Một cách tổng quát, ta có:

- Khi a > 1 thì \({a^{A(x)}} > {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) > B(x)\).

- Khi 0 < a < 1 thì \({a^{A(x)}} > {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) < B(x)\).

 

B. Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình:

a) \({3^{x + 1}} = \frac{1}{9}\).

b) \({2^{2x - 1}} + {4^{x + 1}} = 5\).

Giải:

a) \({3^{x + 1}} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x + 1 = {\log _3}\frac{1}{9} \Leftrightarrow x + 1 =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 3\).

Vậy phương trình có nghiệm là x = -3.

b) \({2^{2x - 1}} + {4^{x + 1}} = 5 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.4^x} + {4.4^x} = 5 \Leftrightarrow \frac{9}{2}{.4^x} = 5 \Leftrightarrow {4^x} = \frac{{10}}{9} \Leftrightarrow x = {\log _4}\frac{{10}}{9}\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {\log _4}\frac{{10}}{9}\).

Bài 2: Giải các bất phương trình:

a) \({2^x} \ge \frac{1}{{32}}\).

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 1}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 1}} > 15\).

Giải:

a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên \({2^x} \ge \frac{1}{{32}} \Leftrightarrow x \ge {\log _2}\frac{1}{{32}} \Leftrightarrow x \ge  - 5\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \([ - 5; + \infty )\).

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 1}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 1}} > 15 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 15 \Leftrightarrow \frac{5}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 15 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 6 \Leftrightarrow x < {\log _{\frac{1}{2}}}6\) (do cơ số \(\frac{1}{2} < 1\)).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(( - \infty ;{\log _{\frac{1}{2}}}6)\).