Bài tập 9 trang 157 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC có AB = AC, phân giác của góc A cắt BC tại H.

a) Chứng minh rằng \(\Delta AHB = \Delta AHC\)

b) Chứng minh rằng AH vuông góc với BC.

c) Kẻ \(HE \bot AB(E \in AB),HF \bot AC(F \in AC).\)  Chứng minh rằng \(\Delta HEB = \Delta HFC\)

d) Trên tia đối của tia HA ta lấy điểm D sao cho H là trung điểm của AD. Chứng minh rằng \(FH \bot BD\)

Lời giải chi tiết

 

a)Xét tam giác AHB và AHC có:

AB = AC (giả thiết)

\(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)  (AH là tia phân giác của góc BAC)

AH là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta AHB = \Delta AHC(c.g.c)\)

b) Ta có: \(\Delta AHB = \Delta AHC\)  (chứng minh câu a)

Suy ra: \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC};\widehat {ABH} = \widehat {ACH}\)

Mà \(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = {180^0}\)   (kề bù)

Nên  \(\eqalign{  & \widehat {AHC} + \widehat {AHC} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {AHC} = {180^0}.  \cr  & \widehat {AHC} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC \cr} \)

c) Tam giác EBH vuông tại E có: \(\widehat {EBH} + \widehat {EHB} = {90^0}\)

Tam giác FHC vuông tại F có: \(\widehat {FHC} + \widehat {FCH} = {90^0}\)

Mà  \(\widehat {EBH} = \widehat {FCH}\)  (chứng minh câu b) nên  \(\widehat {EHB} = \widehat {FHC.}\)

Xét tam giác HEB và HFC có:

\(\eqalign{  & \widehat {EBH} = \widehat {FCH}  \cr  & \widehat {EHB} = \widehat {FHC}(cmt)  \cr  & HB = HC(\Delta AHB = \Delta AHC) \cr} \)

Do đó: \(\Delta HEB = \Delta HFC(g.c.g)\)

d) Xét tam giác AHC và DHB có:

AH = DH (giả thiết)

\(\eqalign{  & HC = HB(\Delta AHB = \Delta AHC)  \cr  & \widehat {AHC} = \widehat {BHD}( = {90^0}) \cr} \)

Do đó: \(\Delta AHC = \Delta DHB(c.g.c) \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HDB}\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong do đó AC // BD.

Mặt khác \(HF \bot AC\)   (giả thiết) nên ta có: \(HF \bot BD\)