Giải bài 1.52 trang 33 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

A. \(y =  - {x^3} + 3{x^2} + 9x\)

B. \(y = 2x + \frac{1}{{x + 2}}\)

C. \(y = \frac{{2024}}{{{e^x}}}\)

D. \(y = 2024\ln x\)

Lời giải chi tiết

Đáp án: C.

Ta lần lượt tính đạo hàm của từng đáp án

+ Xét A:

Tập xác định \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y' =  - 3{x^2} + 6x + 9\) khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) hoặc \(x =  - 1\).

Do đó đạo hàm sẽ đổi dấu trên \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Suy ra A sai.

+ Xét B:

Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có \(y' = 2 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  - 2 \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Do đó đạo hàm sẽ đổi dấu trên \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Suy ra B sai.

+ Xét C:

Tập xác định \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y' = \frac{{ - 2024}}{{{e^x}}} < 0\) với mọi \(x\).Do đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Suy ra C đúng.