Giải bài 1.62 trang 35 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Biết đường thẳng \(y = 2x - 3\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}}\) tại hai điểm A và B. Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là

A. \(I\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{11}}{4}} \right)\)

B. \(I\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{13}}{4}} \right)\)

C. \(I\left( { - \frac{1}{8}; - \frac{{13}}{4}} \right)\)

D. \(I\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{7}{2}} \right)\)

Lời giải chi tiết

Đáp án: D.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 2x - 3\) và đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}}\):

\(2x - 3 = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}},{\rm{  }}\left( {x \ne  - 3} \right) \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 2x + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 12 = 0{\rm{  }}\left( 1 \right)\)

Giả sử \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), khi đó \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình \(\left( 1 \right)\).

Ta có tọa độ trung điểm của cạnh AB là \(I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)\).

Theo định lý Viette ta có \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 1}}{2}\) suy ra hoành độ của I là \({x_I} = \frac{{ - 1}}{4}\), ta loại đáp án C.

Khi đó \({y_I} = 2{x_I} - 3 = \frac{{ - 7}}{2}\). Suy ra \(I\left( {\frac{{ - 1}}{4};\frac{{ - 7}}{2}} \right)\).

Vậy ta chọn đáp án D.