Giải bài 2.14 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một vật nặng có khối lượng m được kéo dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhờ một sợi dây hợp với phương ngang một góc 0. Trong Vật lí, ta biết rằng lực kéo F cần thiết để di chuyển vật được cho bởi công thức

\(F = \frac{{cmg}}{{c\sin \theta  + \cos \theta }}\)

trong đó g là gia tốc trọng trưởng và c là hệ số ma sát của bề mặt (Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014). Chứng tỏ rằng lực kéo F nhỏ nhất khi \(\tan \theta  = c.\)

Lời giải chi tiết

Xét \(F\left( \theta  \right) = \frac{{cmg}}{{c\sin \theta  + \cos \theta }},\theta  \in \left[ {0^\circ ,90^\circ } \right]\).

\(\begin{array}{l}F'\left( \theta  \right) = \frac{{ - cmg\left( {c.c{\rm{os}}\theta  - \sin \theta } \right)}}{{{{\left( {c\sin \theta  + \cos \theta } \right)}^2}}}\\F'\left( \theta  \right) = 0 \Leftrightarrow c.c{\rm{os}}\theta  - \sin \theta  = 0 \Leftrightarrow \tan \theta  = c\end{array}\)

Giả sử \(\theta  = {\theta _0}\) thỏa mãn \(\tan {\theta _0} = c\).

Ta thấy: Khi \(0 \le \theta  < {\theta _0}\) thì \(F'(\theta ) < 0\), khi \({\theta _0} < \theta  \le 90^\circ \) thì \(F'(\theta ) > 0\).

Do đó lực kéo F nhỏ nhất tại \(\theta  = {\theta _0}\) tức là khi \(\tan {\theta _0} = c\).