Giải bài 24 trang 74 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2; - 1;3} \right),C\left( { - 4;7;5} \right)\).

a) Toạ độ của \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 5;5;6} \right)\).

b) \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {26} ,AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {5^2} + {6^2}} = \sqrt {86} \).

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 4\).

d) \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{11}}{{52}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).

‒ Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(AB\):

\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

‒ Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\):

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}\).

‒ Sử dụng công thức tính góc của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\):

\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{{x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\).

Lời giải chi tiết

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1; - 1 - 2;3 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {1; - 3;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 4 - 1;7 - 2;5 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 5;5;6} \right)\).

Vậy a) đúng.

\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {26} ,AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {5^2} + {6^2}} = \sqrt {86} \). Vậy b) đúng.

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 3} \right).5 + 4.6 = 4\). Vậy c) đúng.

\(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {26} .\sqrt {86} }} = \frac{2}{{\sqrt {559} }}\). Vậy d) sai.

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) S

Bài trước Bài sau