Giải bài 2.43 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) tạo với nhau một góc bằng \({60^ \circ }\). Biết \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\) và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\), tính \(\;\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|\) và \(\;\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos {60^ \circ } = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3\). Ta bình phương \(\;\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|\) và \(\;\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|\) để tìm giá trị của chúng như sau:

\(\;{\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2} = 4 + 6 + 9 = 19\) suy ra \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19} \).

\(\;{\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2} = 4 - 6 + 9 = 7\) suy ra \(\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \sqrt 7 \).