Giải bài 41 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính:

a) \(\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {B'C'} \);

b) \(\overrightarrow {D'A} .\overrightarrow {BA'} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(B'C' \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow B'C' \bot A'B\).

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = {90^ \circ } \Rightarrow \overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {B'C'}  = 0\)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {D'A} .\overrightarrow {BA'}  =  - \overrightarrow {D'A} .\overrightarrow {A'B}  =  - \left| {\overrightarrow {D'A} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'B} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {A'B} } \right) =  - AD'.A'B.\cos \left( {\overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {A'B} } \right)\)

\(\overrightarrow {A'B}  = \overrightarrow {D'C}  \Rightarrow \left( {\overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \left( {\overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {D'C} } \right) = \widehat {A{\rm{D}}'C}\).

Xét tam giác \(AC{\rm{D}}'\) có \(AC,AD',CD'\) đều là các đường chéo của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.

Do đó \(AC = AD' = CD'\). Vậy tam giác \(AC{\rm{D}}'\) đều.

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \widehat {A{\rm{D}}'C} = {60^ \circ }\).

\(\overrightarrow {D'A} .\overrightarrow {BA'}  =  - a.a.\cos {60^ \circ } =  - \frac{{{a^2}}}{2}\).