Giải bài 45 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Nhóm bạn Đức dựng trên một khu đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình vuông có độ dài cạnh 4 m như Hình 9 với hai mép tấm bạt sát mặt đất. Tính khoảng cách \(AB\) để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Giả sử lều dựng lên được hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) với \(AC = BC = 2,BB' = 4,\)\(AB = x\left( {0 < x < 4} \right)\).

\(AH = \frac{x}{2} \Rightarrow CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}}  = \sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} \)

\({S_{\Delta ABC}} = AB.CH = x.\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} \)

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.BB' = x.\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} .4 = 2x\sqrt {16 - {x^2}} \).

Xét hàm số \(V\left( x \right) = 2x\sqrt {16 - {x^2}} \) trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\)

Ta có: \(y' = {\left( {2x} \right)^\prime }\sqrt {16 - {x^2}}  + 2x.{\left( {\sqrt {16 - {x^2}} } \right)^\prime } = 2\sqrt {16 - {x^2}}  + 2x.\frac{{ - x}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \frac{{2\left( {8 - {x^2}} \right)}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\)

\(y' = 0\) khi \(x = 2\sqrt 2 \).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;4} \right)} V\left( x \right) = 16\) tại \({\rm{x}} = 2\sqrt 2 \).

Vậy \(AB = 2\sqrt 2 \) thì khoảng không gian trong lều là lớn nhất.