Giải bài 6 trang 9 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \ln \left( {\sqrt {{x^2} + 4}  - x} \right)\). Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}dx} \).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(F'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 4}  - x} \right)}^\prime }}}{{\sqrt {{x^2} + 4}  - x}} = \frac{{\frac{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4}  - x}} = \frac{{\frac{{2{\rm{x}}}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4}  - x}} = \frac{{\frac{{{\rm{x}} - \sqrt {{x^2} + 4} }}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{\sqrt {{x^2} + 4}  - x}} =  - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\left( {x \in \mathbb{R}} \right)\)

Do đó: \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}dx}  = \int {\left[ { - F'\left( x \right)} \right]dx}  =  - \int {F'\left( x \right)dx}  =  - F\left( x \right) + C =  - \ln \left( {\sqrt {{x^2} + 4}  - x} \right) + C\).