Giải bài tập 1.35 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{3x + 6}}{{2 - x}}\)

b) \(y = 2x + \frac{3}{{2 - x}}\)

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: \(D = R\backslash \{ 2\} \)

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} =  - 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} =  - 3\)

Suy ra đường thẳng \({\rm{y}} =  - 3\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} = \infty \)

Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} = 2\). là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: \({y^\prime } = \frac{{12}}{{{{(2 - x)}^2}}} > 0\forall x \in D\)

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: \(x = 2\) và tiệm cận ngang \(y =  - 3\)

Giao với trục Oy tại điểm (0,3)

Giao với trục Ox tại điểm (-2,0)

b)

- Tập xác định: \(D = R\backslash \{ 2\} \)

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) = \infty \]

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) =  - \infty \)

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) =  - \infty \)

 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) = \infty \)

Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} = 2\). là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Khi \(x \to  \pm \infty ,\frac{3}{{2 - x}} \to 0\)nên đường thẳng \(y = 2x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: \({y^\prime } = 2 + \frac{3}{{{{(2 - x)}^2}}} > 0\forall x \in D\)

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

- Vẽ đồ thị

Giao điểm với trục Ox là \(\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2};0} \right),\left( {\frac{{2 - \sqrt {10} }}{2};0} \right)\)

Giao điểm với trục Oy là \(\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\)