Giải bài tập 5.19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Chứng minh ba đường thẳng sau đây đôi một vuông góc:

\({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 3 + 2t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z =  - 1 + 4t}\end{array}} \right.\quad {d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2m}\\{y = 1 - m{\mkern 1mu} (m \in \mathbb{R})}\\{z = 2 + m}\end{array}} \right.\quad {d_3}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\)

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của \({d_1}\): \(\overrightarrow {{u_1}}  = ( - 1,2,4)\)

 Vectơ chỉ phương của \({d_2}\): \(\overrightarrow {{u_2}}  = (2, - 1,1)\)

 Vectơ chỉ phương của \({d_3}\): \(\overrightarrow {{u_3}}  = (2,3, - 1)\)

 Kiểm tra vuông góc:

- \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc: \(\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_2}}  = ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) + 4 \cdot 1 =  - 2 - 2 + 4 = 0\)

 Vậy \({d_1}\) vuông góc với \({d_2}\).

- \({d_1}\) và \({d_3}\) vuông góc: \(\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_3}}  = ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot ( - 1) =  - 2 + 6 - 4 = 0\)

 Vậy \({d_1}\) vuông góc với \({d_3}\).

- \({d_2}\) và \({d_3}\) vuông góc: \(\overrightarrow {{u_2}}  \cdot \overrightarrow {{u_3}}  = 2 \cdot 2 + ( - 1) \cdot 3 + 1 \cdot ( - 1) = 4 - 3 - 1 = 0\)

 Vậy \({d_2}\) vuông góc với \({d_3}\).

Kết luận: Ba đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\), \({d_3}\)  đôi một vuông góc.