Giải bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho mặt phẳng (\(\alpha \)): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2).

a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\beta \)) chứa điểm M và song song với (\(\alpha \)).

b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (\(\alpha \)).

Lời giải chi tiết

a)

Mặt phẳng \((\alpha ):2x - y + 2z + 11 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2, - 1,2)\).

Vì mặt phẳng \((\beta )\) song song với \((\alpha )\), nên nó cũng có cùng vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2, - 1,2)\). Do đó, phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) có dạng:

\(2x - y + 2z + D = 0\)

trong đó D là hằng số cần tìm. Vì \((\beta )\) chứa điểm \(M(1; - 1;2)\), ta thay tọa độ của M vào phương trình của \((\beta )\):

\(2 \cdot 1 - ( - 1) + 2 \cdot 2 + D = 0\)

\(2 + 1 + 4 + D = 0\)

\(7 + D = 0 \Rightarrow D =  - 7\)

Vậy phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) là:

\(2x - y + 2z - 7 = 0\)

b)

Khoảng cách từ điểm \(M(1; - 1;2)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - y + 2z + 11 = 0\) được tính bằng công thức:

\(d = \frac{{|2 \cdot 1 - ( - 1) + 2 \cdot 2 + 11|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} }}\) \(2 \cdot 1 + 1 + 2 \cdot 2 + 11 = 2 + 1 + 4 + 11 = 18\)

\(\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}}  = \sqrt {4 + 1 + 4}  = \sqrt 9  = 3\)

Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \((\alpha )\) là:

\(d = \frac{{18}}{3} = 6\)