Bài tập 8 trang 156 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho góc xAy nhọn có At là tia phân giác. Trên tia At ta lấy điểm D, đường thẳng song song với Ay kẻ từ D cắt Ax tại C.

a) Chứng minh rằng \(\widehat {CAD} = \widehat {CDA}\)

b) Trên Ay, lấy điểm B sao cho AB = AC. Chứng minh rằng \(\Delta ACD = \Delta ABD\)

c) Chứng minh rằng AC = DB và AC // DB.

Lời giải chi tiết

 

a)Ay // DC (gt)\( \Rightarrow \widehat {yAD} = \widehat {ADC}\)    (hai góc so le trong).

Mà   \(\widehat {yAD} = \widehat {CAD}\)  (At là tia phân giác góc xAy)

Do đó: \(\widehat {CAD} = \widehat {ADC}\)

b) Xét tam giác ACD và ABD có:

AC = AB (gt)

\(\widehat {CAD} = \widehat {BAD}\)  (At là tia phân giác của góc xAy)

AD là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta ACD = \Delta ABD(c.g.c)\)

c) \(Ay//CD \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {DCB}\)   (hai góc so le trong)

\(\Delta ACD = \Delta ABD\)   (chứng minh câu b) \( \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {ABD}\)

Mà \(\widehat {DBC} + \widehat {ABC} = \widehat {ABD};\widehat {ACB} + \widehat {BCD} = \widehat {ACD}.\)   Nên  \(\widehat {DBC} = \widehat {ACB}\)

Xét tam giác ABC và DCB có:

\(\eqalign{  & \widehat {ABC} = \widehat {DCB}(cmt)  \cr  & \widehat {ACB} = \widehat {DBC}(cmt) \cr} \)

BC là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta ABC = \Delta DCB(g.c.g) \Rightarrow AC = BD\)

Ta có: \(\widehat {DBC} = \widehat {BCA}\)  (chứng minh trên)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BD // AC.