Giải bài tập 2.8 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và

\(\widehat {BAA'} = \widehat {BAD} = \widehat {DAA'} = {60^\circ }\). Tính độ dài đường chéo AC’.

Lời giải chi tiết

Vì tất cả các cạnh đều bằng a và các góc giữa các cặp vectơ đều là \({\rm{\backslash }}({60^\circ }{\rm{ \backslash }})\), ta có:

\(|\overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {AA'} | = a\)

Tích vô hướng giữa các cặp vectơ:

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\)

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AA'}  = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\)

\(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AA'}  = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Vì ABCD.A’B’C’D’ nên:

\(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \)

Suy ra:

\(|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {|\overrightarrow {AB} {|^2} + |\overrightarrow {AD} {|^2} + |\overrightarrow {AA'} {|^2} + 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AA'}  + 2\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AA'} } \)

Tính độ dài đường chéo AC':

\(|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2} + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)} \)

\(|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {3{a^2} + 3{a^2}}  = \sqrt {6{a^2}}  = a\sqrt 6 \)

Vậy độ dài đường chéo \(AC'\) là \(a\sqrt 6 \).