Giải bài tập 4.29 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: \(y = \sqrt x - 2\), \(y = 0\), \(x = 4\), \(x = 9\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Thể tích của một khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = f(x)\) quanh trục hoành trên đoạn \([a,b]\) được tính bằng công thức:

\(V = \pi \int_a^b {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}dx} \).

Lời giải chi tiết

Thể tích \(V\) được tính bằng:

\({\rm{V = }}\pi \int_4^9 {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}} dx = \pi \int_4^9 {(x - 4\sqrt x + 4)} {\mkern 1mu} dx\)

Tính nguyên hàm:

\(\int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2},\quad \int 4 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = \frac{{8{x^{3/2}}}}{3},\quad \int 4 {\mkern 1mu} dx = 4x\)

Thay vào:

\(V = \pi \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{8{x^{3/2}}}}{3} + 4x} \right]_4^9 = \pi \left( {\frac{{27}}{6} - \frac{{16}}{6}} \right) = \pi \left( {\frac{{11}}{6}} \right)\)

Vậy thể tích khối tròn xoay là:

\(V = \frac{{11\pi }}{6}\).

Bài trước Bài sau