Giải bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Lời giải chi tiết

Vector chỉ phương của đường thẳng d là \(\vec u = (2,1,1)\).

Góc giữa đường thẳng và trục Ox:

Tích vô hướng giữa \(\vec u = (2,1,1)\) và \(\vec i = (1,0,0)\):

\(\vec u \cdot \vec i = 2 \times 1 + 1 \times 0 + 1 \times 0 = 2\)

Độ dài \(|\vec u| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 ,\quad |\vec i| = 1\).

\(\cos \theta  = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Suy ra \({\theta _{Ox}} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right) \approx 35^\circ \).

Góc giữa đường thẳng và trục Oy:

Tích vô hướng giữa \(\vec u\) và \(\vec j = (0,1,0)\):

\(\vec u \cdot \vec j = 2 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 0 = 1\)

\(\cos \theta  = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Suy ra \({\theta _{Oy}} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right) \approx 65^\circ \).

Góc giữa đường thẳng và trục Oz:

Tích vô hướng giữa \(\vec u\) và \(\vec k = (0,0,1)\):

\(\vec u \cdot \vec k = 2 \times 0 + 1 \times 0 + 1 \times 1 = 1\)

\(\cos \theta  = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Suy ra \({\theta _{Oz}} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right) \approx 65^\circ \).