Giải bài tập 5.49 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho mặt phẳng \((\alpha )\): 2x + y − 3z + 8 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với

mặt phẳng \((\alpha )\)?

A. x – 3y + 3z – 7 = 0

B. 3x – 3y + z – 7 = 0

C. x + 2y – z – 8 = 0

D. x – 2y + z + 8 = 0

Lời giải chi tiết

* Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha :2x + y - 3z + 8 = 0\). Vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = (2,1, - 3)\).

* Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng trong các lựa chọn:

- Mặt phẳng \(A:x - 3y + 3z - 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = (1, - 3,3)\).

- Mặt phẳng \(B:3x - 3y + z - 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}}  = (3, - 3,1)\).

- Mặt phẳng \(C:x + 2y - z - 8 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_4}}  = (1,2, - 1)\).

- Mặt phẳng \(D:x - 2y + z + 8 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_5}}  = (1, - 2,1)\).

* Kiểm tra điều kiện vuông góc:

- Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0. Cụ thể:

\(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}}  = 0,\quad \overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_3}}  = 0,\quad \overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_4}}  = 0,\quad \overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_5}}  = 0\)

- Tính các tích vô hướng:

\(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}}  = 2 \times 1 + 1 \times ( - 3) + ( - 3) \times 3 = 2 - 3 - 9 =  - 10 \ne 0\)

\(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_3}}  = 2 \times 3 + 1 \times ( - 3) + ( - 3) \times 1 = 6 - 3 - 3 = 0\)

\(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_4}}  = 2 \times 1 + 1 \times 2 + ( - 3) \times ( - 1) = 2 + 2 + 3 = 7 \ne 0\)

\(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_5}}  = 2 \times 1 + 1 \times ( - 2) + ( - 3) \times 1 = 2 - 2 - 3 =  - 3 \ne 0\)

- Chỉ có phương trình mặt phẳng \(B:3x - 3y + z - 7 = 0\) có tích vô hướng bằng 0 với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \), tức là mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng \(\alpha \).

Chọn B