Giải bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\)

b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\)

c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:

- \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}(\) với \(n \ne - 1)\);

- \(\int {\frac{1}{{{x^n}}}} dx = \frac{{{x^{1 - n}}}}{{1 - n}}\);

- \(\int {{{\sin }^2}} (x)dx = \) sử dụng công thức nửa góc: \({\sin ^2}(x) = \frac{{1 - \cos (2x)}}{2}\);

- \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}(x)}}} dx = - \cot (x)\);

- \(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln (a)}}\), với \(a > 0\).

Lời giải chi tiết

a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\)

Nguyên hàm của \(f(x)\) là:

\(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)

b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\)

Áp dụng công thức nửa góc:

\({\sin ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 - \cos x}}{2}\)

Ta có:

\(F(x) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin x}}{2} + \frac{{{3^{2x}}}}{{2\ln 3}} + C\)

c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)

Nguyên hàm của \(f(x)\) là:

\(F(x) = \frac{2}{9} \times {(3x)^{3/2}} + 4\cot (x) + C\).

Bài trước Bài sau