Giải bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\);

b) \(y = 12 - {x^2}\), \(y =  - x\), \(x =  - 3\), \(x = 4\).

Lời giải chi tiết

a)

Diện tích \(A\) được tính bằng tích phân:

\(A = \int_0^2 {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)

Tính nguyên hàm của \({2^x}\):

\(\int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\)

Do đó:

\(A = \left[ {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right]_0^2 = \frac{{{2^2}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} = \frac{4}{{\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{3}{{\ln 2}}\)

Vậy diện tích cần tìm là:

\(A = \frac{3}{{\ln 2}}\)

b)

Ta cần tính tích phân của hiệu giữa hai hàm \({y_1}(x) = 12 - {x^2}\) và \({y_2}(x) =  - x\) trên đoạn \([ - 3,4]\). Diện tích \(A\) là:

\(A = \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} - \left( { - x} \right)} \right|dx = } \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} + x} \right|dx}  = \int_{ - 3}^4 {\left( {12 - {x^2} + x} \right)dx} \)

Tính nguyên hàm:

\(\int {(12 - {x^2} + x)} {\mkern 1mu} dx = 12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}\)

Thay cận \( - 3\) và \(4\):

\(A = \left[ {12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{ - 3}^4 = \frac{{104}}{3} - \frac{{ - 45}}{2} = \frac{{343}}{6}\)

Vậy diện tích là:

\(A = \frac{{343}}{6}\).