Giải bài tập 5.47 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho ba điểm A(3; 0; 1), B(0; 2; 1), C(1; 0; 0). Phương trình của mặt phẳng (ABC) là

A. \(2x - 3y - 4z + 2 = 0\)

B. \(2x + 3y - 4z - 2 = 0\)

C. \(4x + 6y - 8z + 2 = 0\)

D. \(2x - 3y - 4z + 1 = 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Tính hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng:

- Véc-tơ \(\overrightarrow {AB} = ({x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1})\)

- Véc-tơ \(\overrightarrow {AC} = ({x_3} - {x_1},{y_3} - {y_1},{z_3} - {z_1})\)

2. Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

3. Viết phương trình mặt phẳng:

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

\({n_1}(x - {x_1}) + {n_2}(y - {y_1}) + {n_3}(z - {z_1}) = 0\)

- Thay tọa độ điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) vào phương trình trên để ra phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

* Tính hai vectơ chỉ phương:

Véc-tơ \(\overrightarrow {AB} = (0 - 3;2 - 0;1 - 1) = ( - 3;2;0)\)

Véc-tơ \(\overrightarrow {AC} = (1 - 3;0 - 0;0 - 1) = ( - 2;0; - 1)\)

* Tính vectơ pháp tuyến:

- Tính tích có hướng

\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = (2.( - 1) - 0.0;0.( - 2) - ( - 3).( - 1);( - 3).0 - 2.( - 2)) = ( - 2; - 3;4)\)

- Vậy, vectơ pháp tuyến \(\vec n = ( - 2; - 3;4)\).

* Viết phương trình mặt phẳng:

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

\( - 2(x - 3) - 3(y - 0) + 4(z - 1) = 0\)

\( - 2x + 6 - 3y + 4z - 4 = 0\)

\( - 2x - 3y + 4z + 2 = 0\)

\(2x + 3y - 4z - 2 = 0\)

* Phương trình của mặt phẳng \((ABC)\) là:

\(2x + 3y - 4z - 2 = 0\)

Chọn B

Bài trước Bài sau