Giải bài tập 9 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - z - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):x - z - 2 = 0\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng

A. \({30^o}\)

B. \({45^o}\)

C. \({60^o}\)

D. \({90^o}\)

Lời giải chi tiết

Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).0 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {30^o}\).

Vậy đáp án đúng là A.