Giải bài 6 trang 39 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hai đa thức \(M\left( x \right) = 2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2} - 4x + 12\) và \(N\left( x \right) = {x^4} - 3{x^3} - 4x + 7\).

a) Tìm đa thức P(x) sao cho \(M\left( x \right) + P\left( x \right) = N\left( x \right)\).

b) Tìm đa thức Q(x) sao cho \(Q\left( x \right) - M\left( x \right) = N\left( x \right)\).

c) Tính tổng \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Vì \(M\left( x \right) + P\left( x \right) = N\left( x \right)\) nên \(P\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right)\), thực hiện phép trừ ta tính được P(x).

b) Vì \(Q\left( x \right) - M\left( x \right) = N\left( x \right)\) nên \(Q\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)\), thực hiện phép trừ ta tính được Q(x).

c) Cách 1: Lấy kết quả P(x), Q(x) ở câu a và b, ta tính được tổng \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\).

+ Cách 2: Ta có: \(P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left[ {M\left( x \right) + P\left( x \right)} \right] + \left[ {Q\left( x \right) - M\left( x \right)} \right] = N\left( x \right) + N\left( x \right) = 2N\left( x \right)\) nên tính được \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(M\left( x \right) + P\left( x \right) = N\left( x \right)\), suy ra \(P\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right)\).

\(P\left( x \right) = \left( {{x^4} - 3{x^3} - 4x + 7} \right) - \left( {2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2} - 4x + 12} \right)\)

\( = {x^4} - 3{x^3} - 4x + 7 - 2{x^4} + 3{x^3} - 5{x^2} + 4x - 12\)

\( = \left( {{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {3{x^3} - 3{x^3}} \right) - 5{x^2} + \left( {4x - 4x} \right) + \left( {7 - 12} \right)\)

\( = - {x^4} - 5{x^2} - 5\)

b) Ta có \(Q\left( x \right) - M\left( x \right) = N\left( x \right)\), suy ra \(Q\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)\)

\(Q\left( x \right) = \left( {{x^4} - 3{x^3} - 4x + 7} \right) + \left( {2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2} - 4x + 12} \right)\)

\( = \left( {{x^4} + 2{x^4}} \right) + \left( { - 3{x^3} - 3{x^3}} \right) + 5{x^2} + \left( { - 4x - 4x} \right) + \left( {7 + 12} \right)\)

\( = 3{x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} - 8x + 19\)

c) Cách 1. Ta đã có \(P\left( x \right) = - {x^4} - 5{x^2} - 5\) và \(Q\left( x \right) = 3{x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} - 8x + 19\). Do đó:

\(P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( { - {x^4} - 5{x^2} - 5} \right) + \left( {3{x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} - 8x + 19} \right)\)

\( = \left( { - {x^4} + 3{x^4}} \right) - 6{x^3} + \left( { - 5{x^2} + 5{x^2}} \right) - 8x + \left( { - 5 + 19} \right)\)

\( = 2{x^4} - 6{x^3} - 8x + 14\)

Cách 2. Từ hai đẳng thức \(M\left( x \right) + P\left( x \right) = N\left( x \right)\) và \(Q\left( x \right) - M\left( x \right) = N\left( x \right)\), ta suy ra:

\(P\left( x \right) + Q\left( x \right) \\= \left[ {M\left( x \right) + P\left( x \right)} \right] + \left[ {Q\left( x \right) - M\left( x \right)} \right] \\= N\left( x \right) + N\left( x \right) \\= 2N\left( x \right)\)

Vì vậy:

\(P\left( x \right) + Q\left( x \right) \\= 2\left( {{x^4} - 3{x^3} - 4x + 7} \right) \\= 2{x^4} - 6{x^3} - 8x + 14.\)

Bài trước Bài sau