Giải bài 4 (7.21) trang 38 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hai đa thức \(P = - 5{x^4} + 3{x^3} + 7{x^2} + x - 3\) và \(Q = 5{x^4} - 4{x^3} - {x^2} + 3x + 3\).

a) Xác định bậc của mỗi đa thức \(P + Q\) và \(P - Q\).

b) Tính giá trị của mỗi đa thức \(P + Q\) và \(P + Q\) tại \(x = 1;x = - 1\).

c) Đa thức nào trong hai đa thức \(P + Q\) và \(P - Q\) có nghiệm là \(x = 0\)?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Để cộng (trừ) các đa thức, ta viết các đa thức trong dấu ngoặc và nối chúng bởi dấu “+” (hay “\( - \)”). Sau đó bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

+ Cho một đa thức. Khi đó, bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức.

b) Thay từng giá trị của x vào \(P + Q\) và \(P + Q\) đã thu gọn ở phần a và tính.

c) Nếu tại \(x = a\) (a là một số), giá trị của một đa thức bằng 0 thì ta gọi a (hay \(x = a\)) là một nghiệm của đa thức đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(P + Q = \left( { - 5{x^4} + 3{x^3} + 7{x^2} + x - 3} \right) + \left( {5{x^4} - 4{x^3} - {x^2} + 3x + 3} \right)\)

\( = \left( { - 5{x^4} + 5{x^4}} \right) + \left( {3{x^3} - 4{x^3}} \right) + \left( {7{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {x + 3x} \right) + \left( { - 3 + 3} \right)\)

\( = - {x^3} + 6{x^2} + 4x\)

Vậy \(P + Q\) là đa thức bậc 3.

\(P - Q = \left( { - 5{x^4} + 3{x^3} + 7{x^2} + x - 3} \right) - \left( {5{x^4} - 4{x^3} - {x^2} + 3x + 3} \right)\)

\( = - 5{x^4} + 3{x^3} + 7{x^2} + x - 3 - 5{x^4} + 4{x^3} + {x^2} - 3x - 3\)

\( = \left( { - 5{x^4} - 5{x^4}} \right) + \left( {3{x^3} + 4{x^3}} \right) + \left( {7{x^2} + {x^2}} \right) + \left( {x - 3x} \right) + \left( { - 3 - 3} \right)\)

\( = - 10{x^4} + 7{x^3} + 8{x^2} - 2x - 6\)

Vậy \(P - Q\) là đa thức bậc 4.

b) Kí hiệu \(T\left( x \right) = P + Q\) và \(H\left( x \right) = P - Q\), ta có:

\(T\left( 1 \right) = - {1^3} + {6.1^2} + 4.1 = 9;T\left( { - 1} \right) = - {\left( { - 1} \right)^3} + 6.{\left( { - 1} \right)^2} + 4.\left( { - 1} \right) = 3\)

\(H\left( 1 \right) = - {10.1^4} + {7.1^3} + {8.1^2} - 2.1 - 6 = - 3;H\left( { - 1} \right) = - 10.{\left( { - 1} \right)^4} + 7.{\left( { - 1} \right)^3} + 8.{\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 1} \right) - 6 = - 13\)

c) Ta có: \(T\left( 0 \right) = 0\) và \(H\left( 0 \right) = - 6\).

Vậy \(x = 0\) là nghiệm của đa thức \(P + Q\).

Bài trước Bài sau