Giải bài tập 9.19 trang 83 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng $\widehat {IBD} = \widehat {ICA},\widehat {IAC} = \widehat {IDB}$ và $IA.IB = IC.ID$.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh $\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = {180^o}$, mà $\widehat {ICA} + \widehat {ACD} = {180^o}$ nên $\widehat {IBD} = \widehat {ICA}$.

+ Chứng minh $\widehat {CAB} + \widehat {CDB} = {180^o}$, mà $\widehat {CAB} + \widehat {IAC} = {180^o}$ nên $\widehat {IAC} = \widehat {IDB}$.

+ Chứng minh $\Delta IAC\backsim \Delta IDB\Rightarrow \frac{IA}{IC}=\frac{ID}{IB}\Rightarrow IA.IB=IC.ID$.

Lời giải chi tiết

Tứ giác ABDC nội tiếp (O) nên $\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = {180^o}$, mà $\widehat {ICA} + \widehat {ACD} = {180^o}$ (hai góc kề bù) nên $\widehat {IBD} = \widehat {ICA}$

Tứ giác ABDC nội tiếp (O) nên$\widehat {CAB} + \widehat {CDB} = {180^o}$, mà $\widehat {CAB} + \widehat {IAC} = {180^o}$ (hai góc kề bù) nên $\widehat {IAC} = \widehat {IDB}$

Tam giác IAC và tam giác IDB có:

Góc I chung

$\widehat {ICA} = \widehat {IBD}$ (cmt).

Do đo, $\Delta IAC\backsim \Delta IDB\Rightarrow \frac{IA}{IC}=\frac{ID}{IB}\Rightarrow IA.IB=IC.ID$.

Bài trước Bài sau