Giải 2. Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác Toán học Lớp 7

Đề bài

Câu 1

Cho $\Delta ABC$ có $AC > BC > AB$. Trong các khẳng định sau, câu nào đúng?

$\widehat A > \widehat B > \widehat C$
$\widehat C > \widehat A > \widehat B$
$\widehat C < \widehat A < \widehat B$
$\widehat A < \widehat B < \widehat C$

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat B = {90^0}$, $\widehat A = {35^0}$. Em hãy chọn câu trả lời đúng nhất.

$BC < AB < AC$
$AC < AB < BC$
$AC < BC < AB$
$AB < BC < AC$

Câu 3

Chọn câu trả lời đúng. Ba cạnh của tam giác có độ dài là $6cm;\,7cm;\,8cm.$ Góc lớn nhất là góc

đối diện với cạnh có độ dài $6\,cm.$
đối diện với cạnh có độ dài $7\,cm.$
đối diện với cạnh có độ dài $8\,cm.$
Ba cạnh có độ dài bằng nhau.

Câu 4

Cho $\Delta ABC$ có $AB + AC = 10cm,AC - AB = 4cm$. So sánh $\widehat B$ và $\widehat C$?

$\widehat C < \widehat B$
$\widehat C > \widehat B$
$\widehat C = \widehat B$
$\widehat B < \widehat C$

Câu 5

Cho $\Delta ABC$ có $\widehat A = {70}$, $\widehat B - \widehat C = {30^0}$ . Em hãy chọn câu trả lời đúng nhất:

$AC < AB < BC$
$AB < AC = BC$
$BC < AC = AB$
$AC < BC < AB$

Câu 6

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat C > \widehat B$ ($\widehat B,\,\widehat C$ là các góc nhọn). Vẽ phân giác $AD.$ So sánh $BD$ và $CD.$

Chưa đủ điều kiện để so sánh
$BD = CD$
$BD < CD$
$BD > CD$

Câu 7

Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ tù. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $E,$ trên cạnh $AC$ lấy điểm $F.$ Chọn câu đúng.

$BF > EF$
$EF < BC$
$BF < BC$
Cả A, B, C đều đúng

Câu 8

Cho $\Delta ABC$ có $AB < AC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MD$. So sánh $\widehat {CDA}$ và $\widehat {CAD}$ ?

$\widehat {CAD} > \widehat {CDA}$
$\widehat {CAD} = \widehat {CDA}$
$\widehat {CAD} < \widehat {CDA}$
$\widehat {CDA} < \widehat {CAD}$

Câu 9

Cho $\Delta ABC$ có $AB > AC$ . Kẻ $BN$ là tia phân giác của góc $B$ $\left( {N \in AC} \right)$. Kẻ $CM$ là tia phân giác của góc $C$$\left( {M \in AB} \right)$, $CM$ và $BN$ cắt nhau tại $I.$ So sánh $IC$ và $IB?$

$IB < IC$
$IC > IB$
$IB = IC$
$IB > IC$

Câu 10

Cho $\Delta ABC$ cân tại $A.$ Trên $BC$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = DE = EC$. Chọn câu đúng.

$\widehat {BAD} = \widehat {EAC}$
$\widehat {EAC} < \widehat {DAE}$
$\widehat {BAD} < \widehat {DAE}$
Cả A, B, C đều đúng.

Câu 11

Cho tam giác $ABC$ cân ở $A$ có chu vi bằng $16cm,$ cạnh đáy $BC = 4cm.$ So sánh các góc của tam giác $ABC.$

$\widehat C = \widehat B > \widehat A$
$\widehat A = \widehat B > \widehat C$
$\widehat C > \widehat B > \widehat A$
$\widehat C < \widehat B < \widehat A$

Câu 12

Cho tam giác $ABC,$ biết $\widehat A:\widehat B:\widehat C = 3:5:7.$ So sánh các cạnh của tam giác.

$AC < AB < BC$
$BC > AC > AB$
$BC < AC < AB$
$BC = AC < AB$

Câu 13

Cho tam giác $ABH$ vuông tại $H\,\left( {\widehat A > \widehat B} \right).$ Kẻ đường cao $HC\,\,\left( {C \in AB} \right).$ So sánh $BH$ và $AH;\,CH$ và $CB.$

$BH > AH;\,\,CB < CH$
$BH > AH;\,\,CB > CH$
$BH < AH;\,\,CB < CH$
$BH < AH;\,\,CB > CH$

Đáp án

Câu 1

Vì $\Delta ABC$ có $AC > BC > AB$ nên theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có $\widehat B > \widehat A > \widehat C$ hay $\widehat C < \widehat A < \widehat B$.

Đáp án đúng là c

Câu 2

Xét $\Delta ABC$ có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$ (định lý tổng ba góc trong tam giác)

$ \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {180^0} - {35^0} - {90^0} = {55^0}$

$ \Rightarrow \widehat A < \widehat C < \widehat B \Rightarrow BC < AB < AC$

Đáp án đúng là a

Câu 3

Vì trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn mà cạnh $8\,cm$ là cạnh lớn nhất trong tam giác nên góc lớn nhất là góc đối diện với cạnh có độ dài $8\,cm.$

Đáp án đúng là c

Câu 4

Xét $\Delta ABC$ có: $\left\{ \begin{array}{l}AB + AC = 10cm\,\,\,\left( 1 \right)\\AC - AB = 4cm\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$ \Rightarrow AC = 10 - AB$ . Thế vào (2) ta được: $10 - AB - AB = 4 \Rightarrow 2AB = 6 \Rightarrow AB = 3\,cm.$

$ \Rightarrow AC = 10 - 3 = 7\,cm.$

$ \Rightarrow AC > AB \Rightarrow \widehat B > \widehat C.$

Đáp án đúng là a

Câu 5

Xét $\Delta ABC$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {70^0} = {110^0}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat B + \widehat C = {110^0}\,\,\,\left( 1 \right)\\\widehat B - \widehat C = {30^0}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ $\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat C = \widehat B - {30^0}.$ Thế vào (1) ta được:

$\widehat B + \widehat B - {30^0} = {110^0} \Rightarrow 2\widehat B = {140^0} \Rightarrow \widehat B = {70^0}$

$ \Rightarrow \widehat C = {70^0} - {30^0} = {40^0}.$

$ \Rightarrow \widehat C < \widehat B = \widehat A$$ \Rightarrow AB < AC = BC.$ ( Định lí cạnh và góc đối diện trong tam giác)

Đáp án đúng là b

Câu 6

Từ đề bài $\widehat C > \widehat B \Rightarrow AB > AC.$ Trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $AC = AE.$

Xét tam giác $ACD$ và tam giác $AED$ có

+ $AC = AE$

+ $\widehat {CAD} = \widehat {DAB}$ (tính chất tia phân giác)

+ Cạnh $AD$ chung

Suy ra $\Delta ACD = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)$

$ \Rightarrow DE = CD\,\,\left( 1 \right)$ và $\widehat {AED} = \widehat {ACD}$

Mà $\widehat {ACD}$ là góc nhọn nên $\widehat {AED}$ là góc nhọn, suy ra $\widehat {BED} = 180^\circ - \widehat {AED}$ là góc tù, do đó $\widehat {BED} > \widehat {EBD}$

Xét tam giác $BED$ có $\widehat {BED} > \widehat {EBD}$ suy ra $BD > DE\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ suy ra $DC < BD.$

Đáp án đúng là d

Câu 7

Do $\widehat A > 90^\circ \Rightarrow \widehat {AEF} < 90^\circ $ (vì $\widehat A +\widehat {AEF}+\widehat {AFE}=180^0$)

$\Rightarrow \widehat {BEF} > 90^\circ $ $ \Rightarrow BF > EF\,\,\left( 1 \right)$ nên A đúng

Do $\widehat A > 90^\circ \Rightarrow \widehat {BFA} < 90^\circ $ (vì $\widehat A +\widehat {AEF}+\widehat {AFE}=180^0$)

$ \Rightarrow \widehat {BFC} > 90^\circ $ $ \Rightarrow BF < BC\,\left( 2 \right)$ nên C đúng

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ suy ra $EF < BC$ nên B đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Đáp án đúng là d

Câu 8

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ (gt) $ \Rightarrow MB = MC$ (tính chất trung điểm).

Ta có: $\widehat {AMB} = \widehat {DMC}$ ($2$ góc đối đỉnh).

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$có:

$\left\{ \begin{array}{l}AM = MD\left( {gt} \right)\\\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\left( {cmt} \right)\\BM = MC\left( {cmt} \right)\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)$

$ \Rightarrow AB = DC\left( 1 \right)$ (2 cạnh tương ứng)

Lại có, $AB < AC\left( {gt} \right)\left( 2 \right)$ . Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right) \Rightarrow DC < AC$.

Xét $\Delta ADC$ có: $DC < AC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {CAD} < \widehat {CDA}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Đáp án đúng là c

Câu 9

Vì $AB > AC \Rightarrow \widehat {ACB} > \widehat {ABC}\left( 1 \right)$ (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Vì $BN$ là phân giác của $\widehat {ABC} \Rightarrow \widehat {NBC} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\left( 2 \right)$ (tính chất phân giác)

Vì $CM$ là phân giác của $\widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {MCB} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}\left( 3 \right)$ (tính chất phân giác)

Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)$ $\Rightarrow \widehat {MCB} > \widehat {NBC}\,\,hay\,\,\,\widehat {ICB} > \widehat {IBC}.$

Xét $\Delta BIC$ có $\widehat {MCB} > \widehat {NBC}\left( {cmt} \right) \Rightarrow IB > IC$ (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Đáp án đúng là d

Câu 10

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$AB = AC$ (gt)

$\widehat B = \widehat C$ (tính chất tam giác cân)

$BD = EC\left( {gt} \right)$

$ \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)$$ \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAE}$ (2 góc tương ứng) nên A đúng.

Trên tia đối của tia $DA$ lấy điểm $F$ sao cho $AD = DF$.

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta FDB$ có:

$AD = DF\left( {gt} \right)$

$\widehat {ADE} = \widehat {BDF}$ (đối đỉnh)

$BD = DE\left( {gt} \right)$

$ \Rightarrow \Delta ADE = \Delta FDB\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {DAE} = \widehat {BFD}\\AE = BF\end{array} \right.$

Ta có: $\widehat {AEC} = \widehat B + \widehat {BAD}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

$ \Rightarrow \widehat {AEC} > \widehat B = \widehat C$ nên trong $\Delta AEC$ suy ra $AE < AC$ (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Mà $\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\left( {gt} \right)\\BF = AE\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BF < AB$

Xét $\Delta ABF$ có: $BF < AB\left( {cmt} \right)$ suy ra $\widehat {BFA} > \widehat {FAB}$ (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Vậy $\widehat {BAD} = \widehat {CAE} < \widehat {DAE}$ nên B, C đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Đáp án đúng là d

Câu 11

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$

Chu vi tam giác $ABC$ là $16\,cm$ nên ta có $AB + AC + BC = 16 \Rightarrow 2AB = 16 - BC$$ \Rightarrow 2.AB = 16 - 4$

$ \Rightarrow 2.AB = 12$$ \Rightarrow AB = 6\,cm$ nên $AB = AC > BC$

Vì $AB = AC > BC$ nên $\widehat C = \widehat B > \widehat A.$

Đáp án đúng là a

Câu 12

Từ đề bài ta có $\widehat A:\widehat B:\widehat C = 3:5:7$ nên $\dfrac{{\widehat A}}{3} = \dfrac{{\widehat B}}{5} = \dfrac{{\widehat C}}{7}$$ \Rightarrow \widehat A < \widehat B < \widehat C$

Vì $\widehat A < \widehat B < \widehat C$ nên $BC < AC < AB.$

$\Delta ABH$ có $\widehat A > \widehat B\,\,(gt)$ nên $BH > AH$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

$\Delta ABH$ vuông tại $H$ nên $\widehat A + \widehat B = {90^o}$ (1)

$\Delta BCH$ vuông tại $C$ nên $\widehat {BHC} + \widehat B = {90^o}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat A = \widehat {BHC}$.

Mặt khác $\widehat A > \widehat B\,\,(gt)$ nên $\widehat {BHC} > \widehat B$ suy ra $CB > CH$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

Đáp án đúng là c