Giải 1. Bài 5: Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn Toán học Lớp 7

Đề bài

Câu 1

Số nào sau đây không viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?

$\dfrac{4}{{13}}$
$\dfrac{{ - 7}}{{80}}$
$\dfrac{{24}}{{11}}$
$\dfrac{{ - 4}}{9}$

Câu 2

Viết số hữu tỉ $\dfrac{{ - 6}}{{90}}$ dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta được số a. Chu kì của số a là:

6
-6
3
06

Câu 3

Làm tròn số -75,681 đến hàng phần trăm, ta được:

-75,6
-100
-75,7
-75,68

Câu 4

Làm tròn số 424,267 với độ chính xác 0,05 được:

424,2
424,27
424,3
420

Câu 5

Trong các số: $\dfrac{{ - 3}}{{70}};\dfrac{{212}}{{25}};\dfrac{{63}}{{30}}; - 3\dfrac{7}{{51}};\dfrac{{21}}{{1250}}$, có bao nhiêu số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?

Câu 6

Tính: $ - 23,(2) + \dfrac{3}{7} + 13,(2) - \dfrac{{10}}{7}$

-9
-11,(4)
-11
-35,(4)

Câu 7

Phát biểu nào sau đây là đúng?

-22,34 > -22,(3)
34,(1) < 34,101
0,217 $ \ge $ $\dfrac{{43}}{{200}}$
$\dfrac{{11}}{{20}} > 0,(5)$

Câu 8

Tìm x biết:

$\dfrac{{12}}{{40}} - 2x = 0,(1) + {[1,(24)]^0}$

$\dfrac{{ - 73}}{{180}}$
$\begin{array}{l}\dfrac{{ - 73}}{{90}}\\\end{array}$
0,4
-0,7

Câu 9

Cho phân số m = $\dfrac{{31}}{{{2^3}.{a^4}}}$ . Có bao nhiêu số nguyên dương a với 1 < a < 36 để phân số trên viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn?

Câu 10

Chọn khẳng định đúng:

Số 0 là số thập phân vô hạn tuần hoàn
Số thập phân vô hạn tuần hoàn là 1 số hữu tỉ
Số hữu tỉ gồm số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn
Số nguyên là số thập phân vô hạn tuần hoàn

Câu 11

Khi số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,4818181...$ được viết dưới dạng một phân số tối giản thì tử số nhỏ hơn mẫu số bao nhiêu đơn vị?

$513$
$29$
$13$
$57$

Câu 12

Giá trị nào dưới đây của $x$ thỏa mãn $0,(26).x = 1,2(31)$

$153$
$163$
$57$
$173$

Câu 13

Tìm $x$ biết: $0,(37).x = 1$

$\dfrac{{26}}{{99}}$
$\dfrac{{990}}{{1219}}$
$\dfrac{{1193}}{{990}}$
$\dfrac{{1219}}{{260}}$

Câu 14

Cho $A = \dfrac{4}{9} + 1,2(31) + 0,(13)$ và $B = 3\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{49}} - \left[ {2,\left( 4 \right).2\dfrac{5}{{11}}} \right]:\left( { - \dfrac{{42}}{5}} \right)$. So sánh $A$ và $B$.

$\dfrac{4}{{1815}}$
$\dfrac{1}{{165}}$
$\dfrac{7}{60}$
$\dfrac{6}{7}$

Câu 15

Tính $0,(3) + 1\dfrac{1}{9} + 0,4(2)$, ta được kết quả là

$x = \dfrac{{99}}{{37}}$
$x = \dfrac{9}{{37}}$
$x = \dfrac{{37}}{{99}}$
$x = \dfrac{{37}}{{100}}$

Câu 16

Số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,\left( {66} \right)$ được viết dưới dạng phân số tối giản, khi đó hiệu tử số và mẫu số là

${x_0} < 1$
${x_0} < 2$
${x_0} > 2$
${x_0}$ là số tự nhiên

Câu 17

Viết phân số $\dfrac{{11}}{{24}}$ dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được

$A < B$
$A > B$
$A = B$
$A \le B$

Câu 18

Phân số nào dưới đây biểu diễn số thập phân $0,016?$

$A < B$
$A > B$
$A = B$
$A \le B$

Câu 19

Số thập phân $0,35$ được viết dưới dạng phân số tối giản thì tổng tử số và mẫu số của phân số đó là:

$\dfrac{{15}}{{59}}$
$\dfrac{{59}}{{15}}$
$\dfrac{{15}}{{28}}$
$\dfrac{{28}}{{15}}$

Câu 20

Trong các phân số $\dfrac{2}{7};\,\dfrac{2}{{45}};\dfrac{{ - 5}}{{ - 240}};\dfrac{{ - 7}}{{18}}$. Có bao nhiêu phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?

$\dfrac{{11}}{{90}}$
$\dfrac{{33}}{{30}}$
$\dfrac{{1}}{{30}}$
$\dfrac{{11}}{{30}}$

Câu 21

Chọn câu sai.

$ - 1$
$1$
$5$
$4$

Đáp án

Câu 1

Ta thấy các phân số trên đều đã tối giản.

Các số 13; 11; 9 có các ước khác 2, 5 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Số 80 = 2⁴ . 5 chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 nên viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Đáp án đúng là b

Câu 2

Ta có: $\dfrac{{ - 6}}{{90}}$ = -0,06666…. = -0,0(6)

Vậy chu kì của số a là 6

Đáp án đúng là a

Câu 3

Trước tiên, ta làm tròn số 75,681.

Ta thấy chữ số ở hàng làm tròn là chữ số 8 ở phần thập phân.

Chữ số ngay bên phải hàng làm tròn là 1 < 5 nên giữ nguyên chữ số hàng làm tròn và bỏ đi các chữ số ở sau hàng làm tròn.

Vậy làm tròn số 75,681 đến chữ số hàng phần trăm là 75,68 nên số làm tròn -75,681 đến chữ số hàng phần trăm được -75,68.

Đáp án đúng là d

Câu 4

Làm tròn số 424, 267 với độ chính xác là 0,05, tức là làm tròn đến chữ số hàng phần mười.

Ta thấy chữ số ở hàng làm tròn là chữ số 2 ở phần thập phân

Chữ số ngay bên phải hàng làm tròn là 6 > 5 nên ta tăng chữ số hàng làm tròn thêm 1 đơn vị và bỏ đi các chữ số ở sau hàng làm tròn.

Vậy số 424,267 sau khi làm tròn với độ chính xác là 0,05 được 424,3

Đáp án đúng là c

Câu 5

Ta thấy $\dfrac{{63}}{{30}} = \dfrac{{21}}{{10}}$

Ta có: 70 = 2.5.7;

25 = 5²

10 = 2 . 5

51 = 3 . 17

1250 = 2 . 5⁴

Như vậy, các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn là: $\dfrac{{ - 3}}{{70}}; - 3\dfrac{7}{{51}}$ ( vì mẫu số có ước nguyên tố khác 2 và 5)

Đáp án đúng là b

Câu 6

Ta có:

$\begin{array}{l} - 23,(2) + \dfrac{3}{7} + 13,(2) - \dfrac{{10}}{7}\\ = \left[ { - 23,(2) + 13,(2)} \right] + \left( {\dfrac{3}{7} - \dfrac{{10}}{7}} \right)\\ = ( - 10) + ( - 1)\\ = - 11\end{array}$

Đáp án đúng là c

Câu 7

+) Ta có: -22,(3) = -22,33….

Vì 22,34 > 22,33 nên -22,34 < -22,33

Do đó A sai

+) Ta có: 34,(1) = 34,111….

Vì 34,111… > 34,101 nên B sai

+) Ta có: $\dfrac{{43}}{{200}}$ = 0,215 < 0,217 hay 0,217 > $\dfrac{{43}}{{200}}$

Do đó, C đúng

+) Ta có: $\dfrac{{11}}{{20}} = \dfrac{{55}}{{100}} = 0,55$

0,(5) = 0,555…

Ta thấy 0,55 < 0,555… nên $\dfrac{{11}}{{20}}$< 0,(5)

Do đó, D sai

Đáp án đúng là c

Câu 8

$\begin{array}{l}\dfrac{{12}}{{40}} - 2x = 0,(1) + {[1,(24)]^0}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{10}} - 2x = \dfrac{1}{9} + 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{10}} - 2x = \dfrac{{10}}{9}\\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{3}{{10}} - \dfrac{{10}}{9}\\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{{27}}{{90}} - \dfrac{{100}}{{90}}\\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{{ - 73}}{{90}}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 73}}{{90}}:2\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 73}}{{90}}.\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 73}}{{180}}\end{array}$

Đáp án đúng là a

Câu 9

* Trường hợp 1: Khi m đã tối giản

Khi đó m viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn nếu 2³ . a⁴ không có có ước nguyên tố nào khác 2 và 5.

Vì a nguyên và 0 < a < 36 nên ta tìm số các số nguyên lớn hơn 1 và nhỏ hơn 36 sao cho a chỉ có thể là số chỉ có ước nguyên tố là 2, hoặc chỉ có ước nguyên tố là 5, hoặc chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5.

Có thể xảy ra các khả năng sau:

+) a chỉ có ước nguyên tố là 2: Có 5 số gồm 2; 2² ; 2³ ; 2⁴

+) a chỉ có ước nguyên tố là 5: Có 2 số gồm: 5; 5²

+) a chỉ có 2 ước nguyên tố là 2 và 5: Có 3 số gồm 10, 20, 30.

Do đó, số các số a thỏa mãn là: 5+2+3 = 10 ( số)

* Trường hợp 2: Khi m chưa tối giản

Vì m có tử số là 31 ( là số nguyên tố) nên m chưa tối giản khi mẫu có ước là 31.

Khi đó, phân số sau khi rút gọn vẫn còn ước nguyên tố là 31 nên không là số thập phân hữu hạn.

Vậy tìm được 10 số a thỏa mãn

Đáp án đúng là b

Câu 10

Số 0 được coi là một số thập phân hữu hạn nên A sai

Số hữu tỉ bao gồm các số thập phân vô hạn tuần hoàn và các số hữu tỉ nên B đúng, C sai

Số nguyên được coi là số thập phân hữu hạn nên D sai.

Đáp án đúng là b

Câu 11

Ta có $0,4818181... = 0,4\left( {81} \right) = \dfrac{{481 - 4}}{{990}} = \dfrac{{477}}{{990}} = \dfrac{{53}}{{110}}$

Khi đó tử số nhỏ hơn mẫu số số đơn vị là $110 - 53 = 57$ đơn vị.

Đáp án đúng là d

Câu 12

Ta có $0,4818181... = 0,4\left( {81} \right) = \dfrac{{481 - 4}}{{990}} = \dfrac{{477}}{{990}} = \dfrac{{53}}{{110}}$

Khi đó tổng của tử và mẫu là $53 + 110 = 163$ đơn vị.

Đáp án đúng là b

Câu 13

Ta có $0,\left( {26} \right) = \dfrac{{26}}{{99}}$ và $1,2\left( {31} \right) = 1 + 0,2\left( {31} \right) = 1 + \dfrac{{231 - 2}}{{990}} = \dfrac{{1219}}{{990}}$

Nên $0,(26).x = 1,2(31)$$ \Rightarrow \dfrac{{26}}{{99}}x = \dfrac{{1219}}{{990}}$$ \Rightarrow x = \dfrac{{1219}}{{990}}:\dfrac{{26}}{{99}}$$ \Rightarrow x = \dfrac{{1219}}{{260}}$

Vậy $x = \dfrac{{1219}}{{260}}.$

Đáp án đúng là d

Câu 14

$\begin{array}{l}0,(36).x = 0,0(42)\\\dfrac{{36}}{{99}}.x = \dfrac{{42}}{{990}}\\\dfrac{4}{{11}}.x = \dfrac{7}{{165}}\\x = \dfrac{7}{{165}}:\dfrac{4}{{11}}\\x = \dfrac{7}{{60}}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{7}{{60}}$.

Đáp án đúng là c

Câu 15

Ta có $0,\left( {37} \right) = \dfrac{{37}}{{99}}$ nên $0,(37).x = 1$$ \Rightarrow \dfrac{{37}}{{99}}x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{99}}{{37}}$

Vậy $x = \dfrac{{99}}{{37}}.$

Đáp án đúng là a

Câu 16

Ta có $0,\left( {37} \right) = \dfrac{{37}}{{99}}$ nên $0,(37).x = 1$$ \Rightarrow \dfrac{{37}}{{99}}x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{99}}{{37}}$

Ta có: $x = \dfrac{{99}}{{37}}>\dfrac{{74}}{{37}}=2.$

Vậy ${x_0} > 2$.

Đáp án đúng là c

Câu 17

Ta có $1,2\left( {31} \right) = 1 + 0,2\left( {31} \right)$ $ = 1 + \dfrac{{231 - 2}}{{990}} = \dfrac{{1219}}{{990}}$ và $0,\left( {13} \right) = \dfrac{{13}}{{99}}$ ;

Lại có $2,\left( 4 \right) = 2 + 0,\left( 4 \right) = 2 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{{22}}{9}$

Nên $A = \dfrac{4}{9} + 1,2(31) + 0,(13)$$ = \dfrac{4}{9} + \dfrac{{1219}}{{990}} + \dfrac{{13}}{{99}} = \dfrac{{440 + 1219 + 130}}{{990}} = \dfrac{{1789}}{{990}}$

Và $B = 3\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{49}} - \left[ {2,\left( 4 \right).2\dfrac{5}{{11}}} \right]:\left( { - \dfrac{{42}}{5}} \right)$$ = \dfrac{7}{2}.\dfrac{1}{{49}} - \left( {\dfrac{{22}}{9}.\dfrac{{27}}{{11}}} \right):\left( { - \dfrac{{42}}{5}} \right)$$ = \dfrac{1}{{14}} + 6.\dfrac{5}{{42}} = \dfrac{{11}}{{14}}$

Nhận thấy $A = \dfrac{{1789}}{{990}} > \dfrac{{990}}{{990}} = 1$ và $B = \dfrac{{11}}{{14}} < \dfrac{{11}}{{11}} = 1$ nên $A > B.$

Đáp án đúng là b

Câu 18

Ta có: $0,\left( {54} \right) = \dfrac{{54}}{{99}} = \dfrac{6}{{11}};$ $7,(2) = 7 + 0,(2) = 7 + \dfrac{2}{9} = \dfrac{{65}}{9};$ $2,(5) = 2 + 0,(5) = 2 + \dfrac{5}{9} = \dfrac{{23}}{9}$

$\begin{array}{l}A = \dfrac{2}{5} + 0,\left( {54} \right) - 7,\left( 2 \right)\\ = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{{11}} - \dfrac{{65}}{9}\\ = \dfrac{{198}}{{495}} + \dfrac{{270}}{{495}} - \dfrac{{3575}}{{495}}\\ = \dfrac{{ - 3107}}{{495}}\end{array}$

$\begin{array}{l}B = \dfrac{5}{{11}}.\dfrac{{44}}{{20}} - \left( { - \dfrac{7}{{10}}} \right).2,\left( 5 \right) + \dfrac{{11}}{9}\\ = \dfrac{5}{{11}}.\dfrac{{11}}{4} - \left( {\dfrac{{ - 7}}{{10}}} \right).\dfrac{{23}}{9} + \dfrac{{11}}{9}\\ = \dfrac{5}{4} - \left( {\dfrac{{ - 161}}{{90}}} \right) + \dfrac{{11}}{9}\\ = \dfrac{{225}}{{180}} + \dfrac{{322}}{{180}} + \dfrac{{220}}{{180}}\\ = \dfrac{{767}}{{180}}\end{array}$

Nhận thấy $A = \dfrac{{ - 3107}}{{495}} < 0$ và $B = \dfrac{{767}}{{180}} > 0$ nên $B > A.$

Đáp án đúng là a

Câu 19

Ta có $0,\left( 3 \right) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ và $0,4\left( 2 \right) = \dfrac{{42 - 4}}{{90}} = \dfrac{{19}}{{45}}$

Do đó $0,(3) + 1\dfrac{1}{9} + 0,4(2)$$ = \dfrac{1}{3} + \dfrac{{10}}{9} + \dfrac{{19}}{{45}}$$ = \dfrac{{15}}{{45}} + \dfrac{{50}}{{45}} + \dfrac{{19}}{{45}} = \dfrac{{84}}{{45}} = \dfrac{{28}}{{15}}$

Đáp án đúng là d

Câu 20

Ta có: $0,(5) = \dfrac{5}{9}$ và $1,1(4) = 1 + \dfrac{{14 - 1}}{{90}} = 1 + \dfrac{{13}}{{90}} = \dfrac{{103}}{{90}}$

Do đó $0,(5) - 1\dfrac{1}{3} + 1,1\left( 4 \right)$$ = \dfrac{5}{9} - \dfrac{4}{3} + \dfrac{{103}}{{90}} = \dfrac{{50}}{{90}} - \dfrac{{120}}{{90}} + \dfrac{{103}}{{90}} = \dfrac{{33}}{{90}} = \dfrac{{11}}{{30}}$

Đáp án đúng là d